微分中的dx和delta x |
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在微分中中经常可以看到 d x 和 Δ x dx和\Delta x dx和Δx，那么他们有什么区别呢？ 在很多课程里都给出了一大堆的解释，这些解释固然重要，但这两个东东用一两句话就可以解释。 1， Δ x \Delta x Δx表示的是x的增量，例如在数轴上两点 x 1 , x 2 x_1,x_2 x1,x2，则 Δ x = x 2 − x 1 \Delta x=x_2-x_1 Δx=x2−x1表示的就是从 x 1 到 x 2 x_1到x_2 x1到x2的增量（可以为正，负或者0），这跟我们从初高中理解的一样。 2，dx在是在微分学中才有的符号，在 Δ x → 0 时 ， d x = Δ x ， 其 他 时 候 ， d x ≈ Δ x \Delta x \to 0时，dx=\Delta x，其他时候，dx \approx \Delta x Δx→0时，dx=Δx，其他时候，dx≈Δx。 3，微分，直观的理解就是分成一小块一小块，在每一小块中，用直线去近似曲线进行研究，如果这一小块无限趋近于0了，那么近似就变成等于了。一般写成dx的形式时，就说明是这一小块无限趋近于0的情形，即是研究某点微分的情形。某点函数值的微分与该点自变量的微分之比就是这点的导数（也称微商），高中只提导数，不提微分，在这里让它们接轨。同理， d y = Δ y = f ′ ( x ) Δ x ， i f Δ x → 0 ; f ′ ( x ) = lim Δ x → 0 d y Δ x dy=\Delta y=f'(x)\Delta x，if\quad \Delta x \to 0; \quad f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{dy}{\Delta x} dy=Δy=f′(x)Δx，ifΔx→0;f′(x)=limΔx→0Δxdy 4，在进行微积分计算时，有时候总觉得dx很多余，想扔掉它。明白了它的含义，你就舍不得扔了，它代表的是增量，自变量的增量乘以变化率（导数），就得到了函数值的增量，不积跬步无以至千里，这一点点的增量最后积分起来，就造成了一个大的变化。 5，一些常用符号导数： f ′ ( x 0 ) f'(x_0) f′(x0)，一般指某一点的导数 导函数： f ′ ( x ) f'(x) f′(x)，一般指由某一函数所有点的导数组成的函数 微分函数： f ′ ( x 0 ) d x f'(x_0)dx f′(x0)dx 函数的微分： f ′ ( x ) d x f'(x)dx f′(x)dx 另外的写法： 导数： y ′ ∣ x = x 0 = f ′ ( x 0 ) y'|_{x=x_0}=f'(x_0) y′∣x=x0=f′(x0) 导函数： y ′ = f ′ ( x ) = D ( f ( x ) ) = D x ( f ) = d y d x y'=f'(x)=D(f(x))=D_x(f)=\frac{dy}{dx} y′=f′(x)=D(f(x))=Dx(f)=dxdy 微分函数： d y ∣ x = x 0 = f ′ ( x 0 ) d x dy|_{x=x_0}=f'(x_0)dx dy∣x=x0=f′(x0)dx 函数的微分： d y = f ′ ( x ) d x dy=f'(x)dx dy=f′(x)dx 6，一些概念函数是从数到数的映射； 算子是从函数到函数的映射； 线性映射，也成为线性变换（这里的线性与函数图形是否为直线没关系）需满足下列条件： 1），可加性：f(x+y)=f(x)+f(y) 2），齐次性：f(ax)=af(x) |
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